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con teoremas pertenecientes a las disciplinas en podríamos encontrar la verdad, ya que un sistema
cuestión que no se podrían inferir de los axiomas matemático incompleto no quiere decir que lo
establecidos, tal como ya se había demostrado en que contenga sea falso; que puede seguir siendo
el siglo XlX cuando por modificaciones aplicadas útil, siempre que no intentemos utilizarlo más allá
a los axiomas de Euclides se pudieron construir de sus límites; y que el teorema de Gödel sólo se
geometrías deferentes, no Euclides-eanas, donde aplicaría a sistemas deductivos del tipo que se
cada una difería de las otras pero todas ellas utiliza en matemáticas, pero que la deducción no
eran consistentes, Gödel en 1931 presentaría la es el único modo de descubrir la verdad, tal como
siguiente demostración válida: las dimensiones del sistema solar que fueron
‘Para cualquier conjunto de axiomas siempre obtenidas mediante observaciones y medidas
es posible hacer enunciados que, a partir de esos diferentes a la deducción axiomática.
axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni Queda claro que la demostración formal se
que no son así; en este, sería imposible elaborar satura o desencaja por ciertas proposiciones
jamás un conjunto de axiomas a partir de los admitidas sin prueba y, para no enfrascarnos en
cuales se pueda deducir un sistema matemático discusiones interminables, es necesario echar
completo’. mano de cierta convicción en las verdades relativas;
y, sin caer en el extremo de un relativismo vicioso,
‘Los dos resultados obtenidos por Gödel (1906-1978) postular procedimientos alternativos. Todas
conmovieron las matemáticas. La imposibilidad las leyes clásicas han dejado de ser absolutas;
de demostrar la no-contradicción asestó un golpe sólo se cumplen dentro de ciertos supuestos y
mortal ante todo a la filosofía formalista de Hilbert determinadas circunstancias: ‘en igualdad de
(1862-1943) Gödel demostró que cualquier enfoque circunstancias’ o ‘en condiciones normales’.
basado en los seguros principios lógicos que se
escogiera, no lograría demostrar la no-contradicción El físico alemán Werner Heissenberg (1901-
de las matemáticas… de resultar una contradicción 1976), con sus ‘relaciones de incertidumbre’
insoluble, todas las matemáticas se reducirían a nos recuerda que en el universo físico existe el
199
cenizas’ indeterminismo y explica por qué tienen que
tomarse en cuenta las dos teorías de la luz, la
En 1964, el matemático Paul J. Cohen corpuscular y la ondulatoria, eficientes las dos,
completaría esta demolición demostrando que pero que nunca será posible demostrar la verdad
era imposible probar la independencia lógica de de una y la falsedad de la otra.
los axiomas de un sistema formal, reduciendo la No obstante, el conocimiento adquirido
formalización a un simple procedimiento relativo, al escudriñar y explorar la realidad no podría
lo que planteó una crisis insuperable para la transmitirse si previamente no se ha creado
lógica formal. el lenguaje simbólico que permita abstraer
dicha realidad, dejándola de lado, pero que la
‘...Desde luego, las demostraciones de Gödel y represente de la manera más objetiva posible.
Cohen han puesto punto final a todos los ensueños Uno de los instrumentos más valiosos creados por
de conseguir la formalización axiomática del
conocimiento científico, en el sentido de poder la razón humana, para sintetizar el pensamiento y
establecer así su fundamentación absoluta... En poder dar cuenta del conocimiento científico, es
adelante, la axiomatización queda limitada a ser el lenguaje formalizado de las matemáticas.
uno de los varios procedimientos demostrativos y Una economía del lenguaje no caería mal si
de rigorización relativa. A la vez, se ha tenido que ha de ganarse concisión, precisión, intensidad y
reconocer la existencia de otras reglas lógicas de profundidad en la transmisión del conocimiento.
operación distintas y, lo que es más importante aún,
que es posible descubrir otras muchas operaciones El problema está en que, como ya se vio, a veces
lógicas desconocidas hasta ahora, o bien, que se son tan pero tan abstractos que pierden claridad
vienen practicando implícitamente’ 200 y coherencia, sin saberse si son simples conceptos
vacíos que en nada estarían simbolizando la
Isaac Asimov, en un manual referente a las realidad; a veces son tan formalizados que la
‘cien preguntas básicas sobre la ciencia’, sale al sociedad ha tenido que pasarse generación tras
quite aclarando que esto no significa que nunca generación tratando de descifrarlos, o esperando

199 Iñaki Gil de San Vicente, citando a ‘MATEMATICAS: PÉRDIDA DE LA CERTIDUMBRE’ de Kline
200 GORTARI ELI. Lógica General; editorial Grijalbo, Méjico, 1968, pág. 144

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