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relativo a las paralelas, que dice: ‘por un punto los que adquirirían el significado impartido por
B no situado sobre la recta <a> pasa una y sólo las relaciones enunciadas en los nuevos axiomas,
una recta perteneciente al plano <a>B que no con tal que se conservara la misma relación lógica
se encuentra con <a>; y aquella recta es la recta entre ellos.
paralela a <a>. Por ejemplo, los cinco axiomas de Peano tienen
La formalización matemática que se creía dar el siguiente enunciado: i. Cero es un Número;
cuenta de la realidad de manera tan absoluta como ii. Todo Número tiene su Sucesor, que es otro
la geometría de Euclides, pudo ser cuestionada Número; ii. No hay dos Números que tengan el
por los aportes teóricos que de manera simultánea mismo Sucesor; iv. Cero no es Sucesor de ningún
desarrollaron tres matemáticos, pero cada uno de Número; v. Cualquier Propiedad que pertenezca a
ellos por sus propios medios y por separado. Y Cero y al Sucesor de cualquier otro Número que
la hiperbólica geometría no-Euclides-eana sería tenga también esa misma Propiedad, pertenece
descubierta por Janos Bolyai (1802-1860), Karl F. a todos los Números. Acá los conceptos vacíos
Gauss (1777-1855) y Nikolai Lobachevski (1792- o términos primitivos que figuran en los cinco
1856). axiomas son: ‘cero’, ‘número’, ‘sucesor’ y ‘propiedad’,
El postulado V, quedaría así: ‘por un punto B, que si se sustituyen los cuatro ‘conceptos vacíos’
no situado sobre la recta <a>, pasan dos, y por por cualesquiera otros términos, nos arrojarían los
consiguiente infinitas paralelas a la recta <a>’, es mismos cinco axiomas pero con otras expresiones
decir, si por B pasan dos rectas del plano que no o diferentes enunciados.
se encuentran con <a>, queda automáticamente Como si se tratara de una plantilla o molde
demostrado que pasan infinitas. Este nuevo general, la formalización axiomática sería una
postulado, no euclidiano, se ha convertido en un matriz a la que sólo bastaría con introducirle
instrumento muy importante para la física teórica nuevos datos, cada que lo necesitemos, y nos
moderna. resultaría un número infinito de modelos y
Con respecto a lenguajes formalizados en enunciados con la misma estructura lógica.
estructuras axiomáticas, el lógico matemático Engels ya había intuido que la realidad
alemán David Hilbert (1862-1943) pudo establecer objetiva de la naturaleza era todo un ‘cuadro de
un sistema de 20 axiomas, con ocho de enlace, concatenación’ que había que descubrir, si se
cuatro de ordenación, cinco de congruencia, quería tener una visión de conjunto y objetiva de
uno de paralelismo y dos de continuidad, la naturaleza, pero los filósofos no se interesarían
constituyéndose en la base común a partir de en descubrir dichas concatenaciones reales
la cual se demostrarían todos los teoremas creyendo que sólo bastaba con suplantarlas por
geométricos elementales. El único criterio para otros conceptos imaginarios; sustituyendo los
aceptar o rechazar axiomas o que cualquier sistema hechos ignorados por figuraciones y llenando las
de axiomas es matemáticamente aceptable. si verdaderas lagunas por medio de la imaginación.
cumple con la compatibilidad recíproca de no Esto es, en el lenguaje de hoy diríamos que
resultar contradictorio. Así inventaría Hilbert la suplantando los hechos no descubiertos por
disciplina del discurso o argumentación de la axiomas.
ciencia matemática, la metamatemática, para Pero sería Kurt Gödel (1906-1978), filósofo
poder resolver el problema de determinar la y matemático checo, quien haría colapsar los
naturaleza contradictoria o no de un sistema. sistemas de las formalizaciones axiomáticas, al
El matemático italiano Giusseppe Peano (1858- demostrar que un sistema bien definido de axiomas
1932), quien, para aritmetizar las matemáticas, no podría formalizar la prueba de la completitud y
erigió el edificio aritmético soportado sobre la consistencia; demostró que era imposible probar
cinco axiomas o posiciones no demostradas, las la consistencia interna de un sistema de axiomas,
que servirían para inferir de ellos no sólo todos puesto que sí es posible establecer por medio de
los teoremas de la aritmética, sino las inferencias inferencias válidas alguna proposición que esté
generales o relaciones lógicas expresadas por en contradicción con alguna otra proposición ya
los axiomas que se cumplen también para demostrada, e incluso entrar en contradicción con
otros muchos conceptos diferentes, ya que los alguno de los axiomas mismos.
términos de las proposiciones axiomáticas serían En la idea de que todo sistema de axiomas en
‘conceptos vacíos’ sin significado propio que su conjunto ha de presentarse ineludiblemente
pueden ser sustituidos por otros cualesquiera, incompleto, ya que siempre nos encontraremos
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